若关于x的方程 第一步取区间时

0. 关于近似计算

在数学学习中，主要目的侧重于知识和方法的学习，因而大家遇到的精确解(或精确计算)占绝大数。

而实际工作与生活中，大家回想一下，遇到需要近似结果的情形是不是反而更多呢？

在实际应用中，有些方程(如非线性方程)要么求根公式复杂而不实用，要么根本不存在求根公式，此时就要用到近似求解方法，如二分法、牛顿迭代法等数值法。

因此，在所学知识和方法基础上，能结合实际应用，熟练地应用近似求解的意识、方法与能力去解决问题，具有重要的实用意义。

本文将讲述高中阶段要求掌握的二分法求方程式根的近似值的方法与技巧。

1. 基本问题说明

二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。

对于区间[a, b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection,如图)。

有关基本问题包括：题设直接要求求解函数零点或方程式的根的近似值；或者反过来，已知函数零点或方程式的根的近似值（如范围），求解有关参数的值。

这种思想的变式问题是求“整数解”——即在只能求得近似解（如超越方程）的情况下的一种变通设问方式。

这类问题可以借助二分法思路来快速地锁定所求解所在的可能区间范围。

2．解决问题的一般方法

1) 求近似解(根)问题的通用思路为三大步

① 判定根的存在

方程是否有根？若存在有几个根？

② 分离根

即分离出单根或复根的区间。

可利用函数性质便捷地求出各单调性区间；

③ 求近似根（满足既定误差要求）

由上述两步，可知根的大概范围，然后利用二分法等求解更精确、符合既定误差要求的根的解。

2) 具体地，利用二分法求近似解问题的一般方法

① 先要找出一个区间 [a, b]，使得f(a)与f(b)异号；

② 求该区间的中点m=(a+b)/2，并算出f(m) 的值；

③ 若 f(m) 与 f(a) 正负号相同，则取 [m, b] 为新的区间, 否则取[a, m]；

④ 重复第2步和第3步，直到得到满足既定精确度的解为止。

3. 典型例题

例1利用计算器,用二分法求方程x^2-2x-1=0的一个正的实数解（精确到0.1）。

讲解：

① 本题为二分法求方程近似解的基础题型。

目的是让同学们熟悉和掌握这类题型的解答一般思路以及相关的细节处理方法或技巧(如表格的应用)。

② 类似本题运算的情形（过程规律且重复性），利用表格来解答具有思路清晰、描述有条理与不易失误的优点。

③ 提示，可借助相关函数性质，并利用计算器，取易计算且能减少运算量的区间值。

例题2设函数f(x)=lnx-e^x+ax-a∈(a∈R)。

若关于x的方程f(x)=0有唯一解x0且x0∈(n,n+1),n∈N*,求n的值。

解：依题意x>0,

（提示：还未学导数的同学先跳过此题，以后复习时再学）

（提示：上一行实质上就是二分法应用的最简形式。

这里碰巧h(x)的最易计算的两个数是1 和2，且恰好为所求区间，所以不用再二分了。

若2换成5,则可能要持续多次二分才能解答出来）

∴1

又∵n∈N*，

∴所求n为1。

讲解：(提示：还未学导数的同学先跳过此题，以后复习时再学)

① 本题为典型的“求隐零点整数解”问题，应熟练掌握其求解一般方法

a) 先求导；

b) 再虚设零点（设而不求），代入导函数后则可得到一个关于零点的等式；

c) 利用该等式，结合不等式放缩、函数单调性等方法锁定零点的区间范围。

② 应该熟练掌握有关lnx和e^x的常用的重要不等式。

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