菱形的定义 可选条件①EC＝DC
菱形的判定方法，有下面五种方法：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
矩形和菱形的性质以及判定方法较多，实际应用时，应根据已知条件灵活选用合适的性质和判定方法解题。
一.方法综述
判定是从性质的逆命题得出来的，定义法是菱形判定法中的鼻祖，其余判定法是完全可以借助于鼻祖来搞定的。
简单地说，判定一个四边形是菱形，若可以证明四条边相等，则可直接证明这个四边形是菱形；若只能证明一组邻边相等或对角线互相垂直，则可以尝试先证明这个四边形是平行四边形，然后用定义或判定定理来证明这个四边形是菱形。
进一步简化，判定一个四边形是不是菱形有如下常规三大方法：
（1）定义法：使用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”；
（2）垂线法：使用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；
在使用“垂线法”证明某个四边形是菱形，可以走两条路子：
先有“平行四边形”，后证“对角线垂直”；
先有“对角线垂直”，后证“平行四边形”。
（3）边路法：使用“四条边相等的四边形是菱形”来做题。
具体思路操作如下：
由平行四边形到矩形或由平行四边形到菱形的判定可以正式用上“找不同”的方法找到所有的判定条件。
二.应用举例
例1．如图，在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接EC，请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形ADCE是菱形．
（1）你选择的补充条件是 ；②AC⊥DE；③∠ECD＝90°；
（2）在（1）的条件下，求证：四边形ADCE是菱形．
【解答】（1）解：选择的补充条件是①，
故答案为：①；
（2）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在?ABDE中，AE＝BD，AE∥BD，
∴AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵EC＝DC，
∴四边形ADCE是菱形．
例2．小惠编题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD，求证：四边形ABCD是菱形．”
小洁说：“小惠，你这个题目还需要再补充一个条件才能证明．”
你赞同小洁的说法吗？若赞同，请你补充一个条件，并证明；若不赞同，请说明理由．
【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】：赞成小洁的说法，
补充条件：OA＝OC，
证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
例3．如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
（1）求证：DE＝BF；
（2）请从以下三个条件：
①AC＝2BD；
②∠BAC＝∠DAC；
③AB＝AD中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是： （填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证四边形DEBF是平行四边形，可得DE＝BF；
（2）利用矩形的判定和菱形的判定依次判断可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴EO＝AO，FO＝CO，
∴EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF；
（2）解：当AC＝2BD时，AO＝CO＝BD，
∴EO＝FO＝DO＝BO，
∴EF＝BD，
∴平行四边形DEBF是矩形；
当∠BAC＝∠DAC时，∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
又∵AO＝CO，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形DEBF是菱形；
当AB＝AD时，∵AB＝AD，BO＝DO，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形；
故答案为②③．
例4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？
【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值；
（2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】：（1）若四边形AECF为平行四边形，
则OA＝OC，OE＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm，
∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm，
∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm，
∴6﹣t＝2t，∴t＝2，
∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则AC⊥EF，
例5．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°．
∴∠C+∠B＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
三.总结升华
拿平行四边形到菱形的判定来说：
先从“边”上对比平行四边形和菱形，对边都是平行且相等，而菱形的邻边也相等，所以只需要在平行四边形的基础上加上一组邻边相等就可以得到菱形；
从“角”上来考虑，平行四边形和菱形都是对角相等、邻角互补，没有什么不同的，所以在角上找不出判定条件；然后从“对角线”上来分析，平行四边形的对角线互相平分，而菱形的对角线既平分又垂直，所以我们找到了它的不同点：少了垂直，因而在平行四边形的基础上，加上对角线互相垂直就可以得到菱形。
这是以平行四边形为起点来判定菱形的，
若以四边形为起点，考虑到菱形的四条边都相等，把这条性质反过来就得到了由四边形直接判定为菱形的方法：四条边都相等的四边形是菱形。
这样我们就找到了三种菱形的判定方法，再利用“图示记忆法”，可以轻松的将这三条判定方法记住。
#古诗词小课堂#