数学期望和方差的关系公式 D(X)=np(1-p)
简介：最近在研究一个R语言的资料，是斯坦福大学老师写的。可以直接学习，里面有配套的R代码，小编在这里写一些读书笔记。本章介绍常见的离散分布及其应用。
1.伯努利检验与二项分布
1.1 定义
如果检验E只有A和ā两个结果，概率分别为p和1-p，E称为伯努利实验，且当独立重复 n 次时，E 称为 n 次伯努利实验。典型的伯努利实验是抛硬币的例子。例如，抛硬币3次，观察到2次正面朝上的概率为：（下）。
在n次伯努利实验中用X表示A出现的次数，则称随机变量X服从二项分布，记为X~b(n,p)，其分布规律为：
p>
二项分布的期望和方差为E(X)=np。
1.2 R语言实例
R中常用的分布通常有对应的四个函数，分别是p（概率，概率），d（分布，分布），r（随机数，随机数），q (quantile, quantile) 这四个字母开头。以二项分布为例，有如下四个函数：
pbinom(q, size, prob)：计算累积概率
dbinom(x, size, prob) : Calculate the Specific probability of a certain value x
rbinom(n, size, prob): 从b(size, prob)的二项分布中生成n个随机数
qbinom( p, size , prob): Quantile function
两个参数size和prob分别表示伯努利试验的次数和每次试验成功的概率，分别对应二项分布中的两个参数n和p.假设碱基突变的概率为5×10-4，我们模拟10000个位点发生突变的碱基数并画条。
> simulations=rbinom(n=300000, prob=5e-4, size=10000)> barplot(table(simulations), col=”lender”)
对于例如，生成10000个服从b(100, 0.2)的随机数，绘制概率密度直方图，加上正态分布拟合曲线。
> library(dplyr)> library(ggplot2)> tibble(x=rbinom(10000, size=100, prob=0.2))%>% ggplot(aes(x=x)) geom_histogram(aes (y=..density..)) stat_function( fun=dnorm, args=list(mean=20, sd=4), color=”red” )
一个特殊的数据框tibble，这是R语言大师Hadley Wickham在tidyverse包中定义的一种新的数据类型。它是一个弱类型的data.frame，语法与data.frame相同，但使用起来更灵活。如果想了解更多可以参考R for Data Science这本书
（
The expectation and variance的模拟数据分别为 20 和 0.4。根据中心极限定理，当n取较大值时，二项分布趋于正态分布。因此我们的模拟数据可以符合上面的正态分布 N(20, 0.4)。
2.泊松分布
2.1 定义
泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数。例如，在一定时间内到达某个服务设施的人数，在公交车站等候的乘客人数，机器故障的次数，自然灾害的次数，DNA突变的碱基数，等等。泊松分布只有一个参数λ，记为X~π(λ)，其分布规律为：
泊松分布的期望和方差都等于λ，即E( X)=D(X)=λ。当二项分布的n很大时，可以用泊松分布来近似二项分布，其中λ=np。
2.2 R语言例子
我们生成1000个二项随机数项目分布 b(10000, 0.01) 和泊松分布 π(100) 中的数字，并绘制它们。
> library(tidyverse)> tibble(x=rbinom(1000, size=10000, prob=0.01), y=rpois(1000, 100)) %>% pivot_longer(cols=c(x, y)) %>% ggplot(aes(x=value)) geom_density(aes(col=name))
这里先解释一下上面的代码，首先我们创建一个tibble类型的数据框，包括两列 x 和 y 分别服从 b(10000, 0.01) 和 π(100)。然后使用pivot_longer()函数将data frame转成long data，然后做直方图。
由此可以看出，两条曲线可以很好的重合，这也说明我们上面的结论是正确的，即泊松分布可以看作是n大且n大的二项分布一个小p。
3.蒙特卡洛法（Monte Carlo）
蒙特卡洛法是指产生大量的随机数，进行数值统计计算，以获得问题的近似解。一个经典的例子就是用蒙特卡洛模拟计算pi，如下图，在正方形中生成足够多的随机点，这些点落在圆中的概率就是圆的面积与面积的比值正方形的，所以落入圆圈的点数与所有点数（正方形中的点）的比值等于落入圆圈的概率。据此可以计算出π=4*圆面积/正方形面积，下面代码会解释。
> calpi <- function(n){ x abline(h=pi, col=2 )
可以看到当随机数的个数n越来越大时，通过Monte Card罗计算的π逐渐接近真实值。
再看一个例子，如果X~π(0.5)，X个样本数为100，我们想知道X≥7的概率.当然我们可以用一个理论公式来计算，p=1- p(X≤6)=1-。但是这个计算显然很复杂，我们可以用蒙特卡洛模拟来生成大量符合泊松分布，然后计算概率，具体代码如下：
> maxes=replicate(100000, { max(rpois(100, 0.5)) })> table(maxes)maxes 1 2 3 4 5 6 78 23430 60446 14469 1530 110 7> mean( maxes >=7 )[1] 0.00011
计算出的p值为0.00011，即几乎不可能o在这些样本中保持大于 7 的值。蒙特卡洛模拟的局限性在于其精度≤ 1/n，其中 n 表示生成的随机数。这意味着为了获得足够准确的结果，必须产生足够数量的随机数，这对计算机的性能也提出了很高的要求。
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R语言学习笔记（二）
R语言学习笔记（三）——实用的内置函数
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关于数学期望和方差公式（D(X)和E(X)公式的介绍到此结束）。