程代展 1准布尔代数166
矩阵理论是被公认起源于中国的一个数学分支.美国哥伦比亚特区大学教授Katz在著名数学史著作中指出:“The idea of a matrix has a long history, dated at least from its use by Chinese scholars of the Han period for solving systems of linear equations.”(矩阵的思想历史悠久,它的使用至少可追溯到汉朝,中国学者用它来解线性方程组.)英国学者Crilly的书中也提到:矩阵起源于“公元前200年,中国数学家使用了数字阵列”.矩阵理论是这两本书中唯一提到的始于中国的数学分支,大概确实是仅见的.
矩阵半张量积讲义
从开始不甚清晰的思考到如今形成一个较完整的体系,矩阵半张量积走过了大约二十个年头.开始,人们质疑它的合理性,有人提到:“华罗庚先生说过,将矩阵乘法推广到一般情况没有意义.”后来,又有人质疑它的原创性,说:“这么简单的东西怎么会没有前人提出或讨论过?”到如今,它已经被越来越多的国内外学者所肯定和采用.
有关矩阵半张量积的书,算起来也已经有好几本了.这几本书各有特色.例如:文献,这本书写得比较早,对矩阵半张量积的普及和推广起到了一定的作用,但当时矩阵半张量积理论还很不成熟,所以显得很粗糙,虽然后来出了第2版,但仍然改进不大;文献,它力图包括更多的应用,对工程人员可能有较大帮助,但是对矩阵理论本身缺乏系统疏理,不便系统学习;文献,它强调用半张量积方法统一处理逻辑系统、多值逻辑系统及有限博弈等,对矩阵半张量积理论自身的讨论不多;文献,该书是一本新书,它对某些控制问题进行了较详尽的剖析,这是它的贡献,但它缺少对矩阵半张量积理论全局的把控;文献,它是大学本科教材,内容清晰易懂,但作为科研参考书显然是不够的;其他如文献,它专门讨论布尔网络的控制问题;文献,它只关心电力系统的优化控制问题;文献,它主要考虑泛维系统的建模与控制.因此,已有的关于矩阵半张量积的论著,内容或已过时,或过于偏重部分内容.
这套书定名为《矩阵半张量积讲义》,计划出五卷.卷一:基本理论与多线性运算;卷二:逻辑系统的分析与控制;卷三:有限博弈的矩阵方法;卷四:泛维数动力系统;卷五:矩阵半张量积的其他应用.
由于矩阵半张量积理论与方法发展过快,许多理论结果、计算公式以及综合和归纳方法等被其后的新成果代替.这给初学者和科研人员均带来了一定的不便.本丛书的目的,是为矩阵半张量积理论提供一个至今尽可能完整和先进的理论框架,让它体系完善、结构清晰、公式简洁.同时,将矩阵半张量积的主要应用进行详细分析,使其原理准确易懂,方法明确有效,便于读者不走弯路,迅速到达学科前沿.同时,内容尽可能增加启发性,讲清来龙去脉,给出详尽证明,以便读者举一反三,应用自如.总之,希望本丛书为读者搭建一个工作平台,提供一个基准、一块进一步学习、应用及发展矩阵半张量积的奠基石.
目前已有两卷和读者朋友们见面。
第一卷
第一卷内容主要包括两个部分:第一部分介绍矩阵半张量积的定义、基本性质和主要计算公式,它们可以看作矩阵半张量积的核心理论.由于矩阵半张量积理论与方法发展过快,许多理论结果、计算公式以及综合和归纳方法等被其后的新成果代替.这给初学者和科研人员均带来一定的不便.本卷为矩阵半张量积理论提供一个目前为止最完善的理论框架.让它体系完善、结构清晰、公式简洁、原理准确易懂、方法明确有效、让读者不走弯路,迅速到达学科前沿.同时,内容尽可能增加启发性,讲清来龙去脉,给出详尽证明,以便读者举一反三,应用自如.第二部分主要介绍矩阵半张量积在各种多线性映射和离散集映射中的应用.实际上,经典的矩阵理论只能解决线性和双线性函数的分析与计算问题,用它来研究多线性映射是很困难的.矩阵半张量积突破了这个局限,它使矩阵方法可方便地应用到多线性映射的分析与计算中.此外详细介绍了半张量积在此类问题中的应用.
本卷共11章.第1章介绍矩阵半张量积的定义和基本性质;第2章讨论矩阵半张量积在一些典型线性映射与离散型映射中的应用,包括矩阵李代数、张量场、有限值函数等;第3章介绍矩阵等价性,它揭示了矩阵半张量积的代数本质——一种集合运算;第4章推出广义矩阵半张量积,介绍了一般矩阵与矩阵,以及矩阵与向量的矩阵半张量积,它是泛维动力系统研究的基础;第5章给出逻辑系统的半张量积表示,它是逻辑系统代数化的基础;第6章讨论多值逻辑系统和混合值逻辑系统的半张量积方法,是笫5章的推广.第7章利用矩阵半张量积研究布尔代数与布尔矩阵;第8章是第7章的拓展,它将布尔代数方法推广到具有较松“补”条件的泛布尔代数中去;第9章研究基于布尔格的代数,主要讨论它们的分解与泛代数的基;第10章介绍泛代数的概念,并利用矩阵半张量积构造有限泛代数的基;第11章讨论域扩张的矩阵表示,包括扩域和伽罗瓦群的矩阵表示.
目录速览
前言
数学符号
第 1 章 矩阵半张量积.1
1.1 矩阵运算 1
1.1.1 矩阵乘法 1
1.1.2 矩阵运算的代数特征 7
1.2 有限数组的阶与维数 8
1.3 一型矩阵-矩阵半张量积.11
1.3.1 对高阶数组矩阵方法的探索 11
1.3.2 矩阵半张量积的一般定义.14
1.3.3 矩阵半张量积的基本性质.17
1.4 矩阵半张量积的准交换性 23
1.4.1 向量与矩阵的准交换性.23
1.4.2 换位矩阵 24
1.4.3 置换矩阵 27
第 2 章 多线性运算的矩阵半张量积方法 32
2.1 多线性映射 32
2.2 矩阵映射 43
2.3 矩阵的李代数 49
2.4 流形上的张量场.55
2.4.1 从张量到张量场 55
2.4.2 张量场的缩并 56
2.5 有限值函数的半张量积表示.60
2.6 张量积的半张量积表示 64
第 3 章 矩阵的等价性.67
3.1 矩阵半张量积与矩阵等价 67
3.2 等价类元素的格结构 70
3.3 等价类的性质 74
3.4 矩阵半群 76
3.5 矩阵的半张量和.79
3.6 矩阵子集上的代数结构 82
3.7 商空间及其代数结构 87
3.7.1 商空间的么半群结构 .87
3.7.2 商空间上的 M-1 加法 90
3.7.3 商空间上的向量空间结构.91
第 4 章 广义矩阵半张量积 93
4.1 依赖于矩阵乘子的矩阵半张量积 93
4.2 依赖于向量乘子的矩阵半张量积 96
4.3 跨越维数的线性半群系统 98
4.4 广义定常线性系统 101
第 5 章 命题逻辑 103
5.1 命题逻辑与逻辑算子 .103
5.2 布尔函数的矩阵半张量积表示 104
5.3 表达式的转换 107
5.4 逻辑表达式的性质 112
5.5 逻辑问题的代数解 118
第 6 章 多值逻辑与混合值逻辑 121
6.1 多值逻辑的性质与代数表示.121
6.2 多值逻辑的范式与完备性 126
6.3 混合值逻辑 135
第 7 章 布尔代数与布尔矩阵 139
7.1 布尔代数.139
7.2 布尔代数的合成与分解 142
7.3 布尔向量与布尔矩阵 .148
7.3.1 布尔向量空间 148
7.3.2 布尔矩阵 150
7.4 检测问题.153
7.5 逻辑关系方程 155
7.6 逻辑关系方程的 Ledley 解 157
第 8 章 准布尔代数与准布尔矩阵 166
8.1 准布尔代数 166
8.2 准布尔代数的矩阵表示 170
8.3 准布尔代数的同态与同构 183
8.4 准布尔代数的格结构 .187
8.5 乘积准布尔代数.189
8.6 准布尔代数的子代数与商代数 194
8.6.1 准布尔子代数 194
8.6.2 准布尔商代数 199
8.7 准布尔矩阵 199
8.7.1 半环上的矩阵 199
8.7.2 准布尔代数上的矩阵.201
8.7.3 准布尔网络 203
第 9 章 有限格及格代数 207
9.1 有限格代数的矩阵表示 207
9.1.1 有限格的结构矩阵 .207
9.1.2 有限格的补的结构矩阵.209
9.1.3 构造有限格代数 211
9.2 布尔型代数的同态与同构 213
9.2.1 同态 213
9.2.2 同构 214
9.3 布尔型代数分解.216
9.3.1 布尔型代数的乘积 .216
9.3.2 乘积的逆问题 || 分解 217
第 10 章 泛代数 222
10.1 代数结构与泛代数 222
10.2 泛代数的同态与同构.225
10.3 有限泛代数的基底 226
第 11 章 域扩张的矩阵表示 231
11.1 域的有限扩张 .231
11.2 伽罗瓦群.235
11.3 伽罗瓦基本定理 238
11.4 伽罗瓦大定理 .246
11.5 超复数 251
附录 数学基础 253
A.1 向量空间 253
A.2 近世代数 255
A.2.1 群 256
A.2.2 环 260
A.2.3 域 262
A.3 格 263
A.3.1 格的两种定义 263
A.3.2 格同构.265
A.3.3 理想 .267
A.3.4 格的同余关系 268
A.3.5 模格、分配格与有界分配格 269
A.3.6 布尔型代数 271
A.4 点集拓扑 272
A.4.1 拓扑空间.272
A.4.2 距离空间.273
A.4.3 子空间、乘积空间、商空间.274
A.5 纤维丛 275
A.5.1 丛和截面.276
A.5.2 丛的态射.276
A.6 微分几何 277
A.6.1 微分流形.277
A.6.2 向量场.278
A.6.3 余向量场.281
A.7 李群与李代数 282
A.7.1 李群 .282
A.7.2 李代数.284
A.7.3 李群的李代数 285
参考文献.287
索引 294
第二卷
第二卷主要讨论矩阵半张量积方法在逻辑动态系统中的应用,特别注重布尔网络的矩阵半张量积表示、结构分析以及布尔控制网络的相关控制问题的解.
矩阵半张量积讲义(卷二: 逻辑系统的分析与控制)
程代展, 齐洪胜著
北 京: 科学出版社
ISBN 978-7-03-000000-0
责任编辑: 李 欣， 李 萍
本卷共12章.第1章介绍布尔函数的基本性质及其表示方法;第2章介绍逻辑函数及逻辑网络.这两章是全书的基础.第3章讨论逻辑动态系统的拓扑结构,重点是不动点与极限环的计算、吸引域的确定等.第4章与第5章分别讨论逻辑控制系统的能控性与能观性,这是控制系统最基本的两个性质.第6章介绍代数状态空间方法,包括坐标变换、正规子空间及控制不变子空间等.第7章讨论解耦问题,包括干扰解耦、状态空间解耦以及输入输出解耦等.第8章探讨布尔网络的稳定性与布尔控制网络的可镇定性.第9章讨论辨识问题,包括布尔网络的辨识与布尔控别网络的辨识.第10章讨论逻辑系统的输出调节问题,包括输出跟踪的可解性及跟踪控制的设计.第11章讨论概率布尔网络,包括其代数状态空间的表达、能控性、稳定性与镇定、能观测性等.第12章研究最优控制问题,包括时间最优、平均收益最优、加权总和最优等.
目录速览
前言
数学符号
第1章 布尔函数的表示与结构分析 1
1.1 布尔函数的代数表示 1
1.1.1 伽罗瓦域上的逻辑函数 1
1.1.2 布尔函数的多项式表示 5
1.1.3 Walsh 变换 11
1.2 布尔函数的线性性与对称性 19
1.2.1 线性性 19
1.2.2 非线性性 22
1.3 布尔函数的对称性 25
1.4 Canalizing 函数 28
1.4.1 验证 Canalizing 函数 29
1.4.2 Canalizing 函数的个数 32
1.4.3 级联 Canalizing 函数 37
第2章 逻辑函数与静态逻辑网络 40
2.1 逻辑函数的分解 40
2.1.1 无重叠分解 40
2.1.2 重叠双分解 46
2.2 隐函数存在定理及其应用 52
2.2.1 隐函数存在定理 52
2.2.2 奇异布尔网络 55
2.3 静态逻辑网络的 Ledley 解 57
2.3.1 分割与真值矩阵 57
2.3.2 Ledley 的前提解与推论解 60
2.3.3 混合值逻辑网络的 Ledley 解 67
2.4 Ledley 解的应用 70
2.4.1 广义隐函数存在定理 70
2.4.2 检测问题 73
第3章 逻辑动态系统的结构分析 76
3.1 布尔网络的拓扑结构 76
3.1.1 布尔网络的代数表示 76
3.1.2 吸引子的计算 81
3.1.3 吸引域 88
3.1.4 布尔网络的例子 89
3.2 非齐次布尔网络 96
3.2.1 不同步布尔网络 96
3.2.2 高阶布尔网络 99
3.2.3 高阶布尔网络的第一代数表达式 101
3.2.4 高阶布尔网络的第二代数表达式 108
3.3 k 值逻辑与混合值逻辑 110
第4章 逻辑系统的能控性 114
4.1 普通能控性 114
4.1.1 布尔控制网络的代数状态空间表示 114
4.1.2 能控性矩阵与能控能达 117
4.1.3 一般逻辑系统的能控性 121
4.2 集合能控性 123
4.2.1 集合能控的充要条件 124
4.2.2 网络输入及混合输入的能控性 127
4.3 牵制控制 132
4.3.1 牵制控制网络的代数状态空间表示 132
4.3.2 牵制控制网络的能控性 138
第5章 逻辑动态系统的能观性 142
5.1 四种不同的能观性 142
5.2 能观性的判定 144
5.2.1 输出序列的直接验证 144
5.2.2 演化点对分析 147
5.2.3 辅助系统方法 154
5.3 多值逻辑动态系统的能观性 157
第6章 状态空间方法与坐标变换 159
6.1 布尔网络的状态空间结构 159
6.1.1 状态空间的矩阵表示 159
6.1.2 状态空间的坐标变换 161
6.1.3 正规子空间 164
6.2 不变子空间 169
6.2.1 布尔网络的不变子空间 169
6.2.2 布尔控制网络的不变子空间 172
6.3 布尔网络的标准型 176
6.3.1 标准型的结构 176
6.3.2 标准型的算法 178
6.4 k 值逻辑系统的状态空间方法 180
6.4.1 k 值逻辑网络的状态空间与坐标变换 181
6.4.2 k 值逻辑网络的正规子空间与不变子空间 182
第7章 状态空间的解耦 188
7.1 布尔网络的干扰解耦 188
7.1.1 干扰解耦方程与输出友好子空间 188
7.1.2 状态反馈控制的设计 196
7.1.3 定常控制下的干扰解耦 203
7.1.4 状态反馈干扰解耦 205
7.2 Morgan 问题 208
7.2.1 Morgan 问题的模型形式 208
7.2.2 相容输出解耦子空间 210
7.2.3 输入输出解耦的反馈控制实现 214
7.2.4 Morgan 问题的解 218
第8章 稳定性与镇定 221
8.1 逻辑系统的稳定性 221
8.2 全局稳定性 224
8.3 布尔控制网络的镇定 231
8.4 状态反馈镇定控制的设计 234
8.5 集合镇定 243
8.6 一般逻辑网络的镇定 247
第9章 逻辑系统辨识 250
9.1 布尔网络的辨识 250
9.1.1 辨识的唯一性问题 250
9.1.2 布尔网络辨识的要求与算法 251
9.2 布尔控制网络的辨识 256
9.3 混合值逻辑系统的辨识 261
第10章 输出调节 264
10.1 控制不变集 264
10.2 输出调节的集合能控性方法 271
10.2.1 参考系统轨道跟踪 271
10.2.2 参考系统的输出跟踪 273
10.3 输出调节控制设计 275
10.3.1 开环控制设计 275
10.3.2 闭环控制设计 276
10.3.3 一个生物网络的例子 277
第11章 概率布尔网络 283
11.1 马尔可夫链简介 283
11.1.1 概率转移矩阵 283
11.1.2 状态分类 284
11.1.3 随机矩阵的收敛性 287
11.2 概率布尔网络的矩阵表示 289
11.3 概率布尔网络的能控性 297
11.4 稳定性与镇定 301
11.4.1 概率布尔网络的稳定性 301
11.4.2 概率布尔网络的镇定 304
11.5 概率布尔网络的能观性 306
11.5.1 模型与能观性 306
11.5.2 集合能达性 308
11.5.3 依概率 1 有限时间可达 312
11.5.4 依分布渐近可达 313
11.5.5 能观性的检测 317
第12章 最优控制 324
12.1 时间最优控制 324
12.2 平均值最优控制 328
12.2.1 输入–状态转移图 328
12.2.2 逻辑控制网络的拓扑结构 332
12.2.3 最优控制设计 338
12.3 概率逻辑网络的优化控制 343
12.3.1 有限时间最优控制 343
12.3.2 无限时间基于预测控制的优化 347
参考文献 353
索引 362
这套书只要求读者具有大学本科工科专业所需掌握的数学工具,但部分内容涉及一些近代数学的初步知识.为了使本丛书具有良好的完备性,以增加可读性,第一卷书末添加了一个附录,对一些用到的近代数学知识做了简要介绍.如果仅为阅读本丛书,这些知识也就足够了.
作者简介
程代展，1970年毕业于清华大学,1981年于中国科学院大学获硕士学位,1985年于美国华盛顿大学获博士学位.从1990年起,任中国科学院系统科学研究所研究员.曾经担任国际自动控制联合会(International Federation of Automatic Control,IFAC)理事(Council Member),IEEE控制系统协会(Control Systems Society,CSS)执委(Member of Board of Governors),中国自动化学会控制理论专业委员会主任,IEEECSS北京分会主席等,国际期刊Int.J.MathSys.,Est.Contr.(1991—1993),Automatica(1998—2002),Asia.J.Control.(1999—2004)的编委,International Journal on Robust and Nonlinear Control的主题编委,国内期刊J.Control Theory and Application主编,《控制与决策》的副主编及多家学术刊物的编辑.已经出版了16本论著,发表了270多篇期刊论文和150多篇会议论文.他的研究方向包括非线性控制系统、数值方法、复杂系统、布尔网络控制、基于博弈的控制等.曾两次作为第一完成人获国家自然科学奖二等奖(2008,2014),中国科学院个人杰出科技成就奖(金质奖章,2015),其他省部级一等奖两次、二等奖四次、三等奖一次.2011年获国际自动控制联合会Automatica(2008—2010)的最佳论文奖.2006年入选IEEEFellow,2008年入选IFACFellow.
程代展是矩阵半张量积理论的首创人.
齐洪胜，中国科学院数学与系统科学研究院副研究员,中国科学院大学岗位教授.2008年于中国科学院数学与系统科学研究院获博士学位.2008年7月至2010年6月在中国科学院系统控制重点实验室从事博士后研究工作.已经出版了4本著作,发表了60多篇期刊论文和会议论文.主要研究兴趣包括逻辑动态系统、博弈与控制、量子网络等.2011年获国际自动控制联合会Automatica(2008—2010)理论/方法类最佳论文奖,2014年获国家自然科学奖二等奖(排名第二).
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本文编辑：王芳
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