集合 A．0B．1C．2D．3

【新教材】1.1集合的概念

（人教A版）

一、知识归纳、梳理

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

(4)元素的特性：确定性 、 无序性 、 互异性．

2．元素与集合的关系

3．常用的数集及其记法

4．列举法

把集合的元素 一一列举出来出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．

5．描述法

(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征．

二、典例分析、举一反三

题型一 集合的含义

例1　考查下列每组对象，能构成一个集合的是(　　)

①某校高一年级成绩优秀的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．

A．③④　　 B．②③④ C．②③ D．②④

【答案】B

解题技巧：（判断一组对象能否组成集合的标准）

判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．

跟踪训练一

1．给出下列说法：

①中国的所有直辖市可以构成一个集合；

②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；

③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合．

其中正确的有________．(填序号)

【答案】①③

题型二 元素与集合的关系

例2　(1)下列关系中，正确的有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】　 (1) C (2) 0,1,2

解题技巧：判断元素与集合关系的两种方法

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。

跟踪训练二

2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，aB，则a的值为 (　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】∵a∈A，aB，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.

3．用适当的符号填空：

已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A.

【答案】∈　　

【解析】令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.

题型三 集合中元素的特性及应用

例3　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

【答案】-1　

【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；

当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.

变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．

变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

【答案】a≠0且a≠1　

【解析】若A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.

变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．

【答案】a=0　

【解析】由a∈A可知，

当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.

当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.

解题技巧：（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）

题型四 用列举法表示集合

例4　用列举法表示下列集合．

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．

【答案】见解析　

【解析】　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．

(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．

(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，

故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．

解题技巧（用列举法表示集合的三个步骤）

1.求出集合的元素；

2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

3.用花括号括起来。

跟踪训练四

4．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B　

【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．

5．用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.

(2) 方程x2－9＝0的实数根组成的集合B方.

(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.

【解析】(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．

(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．

所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．

题型五 用描述法表示集合

例5　 用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

(3)大于4的所有偶数．

【解析】(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．

(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．

(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．

解题技巧（描述法表示集合的2个步骤）

跟踪训练五

6．用符号“∈”或“”填空：

(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；

(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．

【答案】(1)∈　　(2)∈　

【解析】(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1A；

(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．

7．用适当的方法表示下列集合：

(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；

(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；

(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．

【解析】(1)列举法：P＝{0,2,4}．

或列举法：{(0,0)，(2,0)}．

(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．

题型六 集合表示法的综合应用

例6　(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝ (　　)

A．1 B．2 C．0 D．0或1

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，

Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．

故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．

解题技巧：(集合表示法中元素与集合的关系)

1.若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键；

2.若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键；

跟踪训练六

8．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．

∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.

题型七 集合含义的拓展

例7　用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．

【解析】　抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．

变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

【解析】集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．

变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

【解析】集合{ y| y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{ y| y＝x2＋1}＝{ y| y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．

解题技巧（认识集合含义的2个步骤）

一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性。