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空心方阵 【答】全阵有84人

时间：18:47:02作者：admin分类：事物浏览：12评论：0

“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。

在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。

【一、题型要领】

士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫作方阵。

根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。

1.实心方阵

【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。

下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。

【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N

（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时

= N ÷ 2，当N为偶数时

（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数 * 4 - 4 = （N - 1）* 4

（3）方阵总人数 = 最外层每边的人数 * 最外层每边的人数 = N * N

2. 空心方阵

【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。

下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵

【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M

（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数 * 4 - 4 = （N - 1）* 4

（2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M

（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）

【二、重点例题】

例题1

【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？

【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。

蓝色部分的数量 = 外边长 * 2 - 1，即可求解

【解】（11 + 1）÷ 2 = 6（盆）

6 * 6 = 36（盆）

【答】原来摆了36盆鲜花

例题2

【题目】有一个3层的中空方阵，最外层每边有10人，问全阵有多少人？

【分析】方阵的排列如下图所示，最外层每边有10人，共3层

先假设这是一个实心方阵，那么实心方阵的人数 = 实心方阵最外边人数的平方 = 10 * 10 = 100（人）

再看里面的空心方阵，空心方阵的最外边人数 = 实心方阵最外边人数 - 2 * 实心方阵层数 = 10 - 2 * 3 = 4（人）

空心方阵的人数 = 空心方阵的最外边人数的平方 = 4 * 4 = 16（人）

全阵的人数 = 实心方阵的人数 - 空心方阵的人数 = 100 - 16 = 84（人）

【解】10 * 10 - （10 - 2 * 3）*（10 - 2 * 3）= 84（人）

。

例题3

【题目】有绿和蓝两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块，将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用蓝色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖铺，第四周用蓝色瓷砖铺。

。

。

这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。

这块正方形地面上的绿色瓷砖共有多少块？

【分析】瓷砖的铺设方式如下图所示

由于瓷砖的总数量为400块，可知最外层的边长 = 20（块）

方阵的相邻两层，每层边长减少2，由于题目要求计算绿色瓷砖的数量，那么绿色瓷砖的边长依次是20，16，12，8，4，求出每个绿色层级的数量相加即可

【解】20 * 4 - 4 + 16 * 4 - 4 + 12 * 4 - 4 + 8 * 4 - 4 + 4 * 4 - 4

=（20 + 16 + 12 + 8 + 4）* 4 - 4 * 5

= 60 * 4 - 20

= 220（块）

【答】绿色瓷砖共有220块

【三、拓展练习】

练习1

【题目】一个正方形池塘每边栽9棵树，如果四个角各植一棵，四条边共栽多少棵树？

【答案】四条边共栽32棵树。

这道题可以看成是求解方阵最外边的人数总和，公式为 （每边人数 - 1）*4

(9 - 1）* 4 = 32（棵）

练习2

【题目】学校用300盆鲜花摆成了一个五层空心方阵，问最外层每边有鲜花多少盆？

【答案】最外层每边有鲜花20盆。

一个方阵，相邻的两层，外层比内层数量多8。

如果这五层都是最外层，共需要鲜花 = 300 + 8 *（1 + 2 + 3 + 4）= 300 + 80 = 380（盆）

最外层 = 380 ÷ 5 = 76（盆）

最外层每边数量 = 76 ÷ 4 + 1 = 20（盆）

练习3

【题目】小明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少个棋子？

【答案】空心方阵最外层每边棋子数是16个。

新方阵最外层每边棋子数 = （23 + 1）÷ 2 = 12（个）

新方阵的棋子总数 = 12 * 12 = 144（个）

空心方阵的棋子总数 = （最外层每边棋子数 - 层数）* 层数 * 4

空心方阵最外层每边棋子数 = 144 ÷ 4 ÷ 4 + 4 = 16（个）

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